Basic Vector Math

Khái niệm cơ bản về toán véc-tơ



Vector Basics

Cơ bản về véc-tơ


A vector is a property that has both a magnitude and a direction. Vectors are drawn as an arrow with a tail and head. The length of the vector represents its magnitude.


Véc-tơ là một hình thái đặc biệt, vì nó vừa có độ lớn vừa có phương hướng. Nếu vẽ ra thì véc-tơ chẳng khác nào một mũi tên có đầu có đuôi. Véc-tơ dài bao nhiêu thì đó cũng là độ lớn của véc-tơ.




Vectors are written using a letter and boldface type. For example, you would have the vector a or the vector b. If you were just talking about the magnitude of the vector you would write the letter inside parallel lines like this: ||a||



Véc-tơ ghi bằng chữ đậm. Vd Bạn muốn có véc-tơ a hoặc véc-tơ b. Nếu chỉ cần giới thiệu độ lớn của véc-tơ thì bạn cứ ghi chữ bên trong những đường thẳng song song như thế này: ||a||



Adding Vectors

Cộng véc-tơ


Vectors can be added together to find out the resultant of both vectors (a + b = c). Both the directions and the magnitudes are combined when adding vectors. Here are some simple examples adding vectors that are in same direction or 180 degrees of the same direction (negative).

Bạn có thể cộng véc-tơ với nhau để tìm tổng của cả hai véc-tơ (a + b = c). Cả hai phương hướng và độ lớn đều kết hợp với nhau khi cộng véc-tơ. Sau đây là một số ví dụ đơn giản về phép cộng véc-tơ cùng phương hoặc 1800 cùng phương (âm).




What do we do when we are adding vectors that are not in the same direction?
Nếu các véc-tơ không cùng phương với nhau thì cộng như thế nào?



Head-to-Tail Method

Phương pháp hoán vị


One way to add vectors is using the head-to-tail method. In this method we put the tail of the additional vector at the end of the head of the previous vector. The resultant vector is the vector drawn from the tail of the first vector to the head of the last vector. See the example using two vectors below.

Muốn cộng véc-tơ thì có một cách là dùng phương pháp hoán vị. Theo phương pháp này, ta sẽ đặt đuôi của véc-tơ cộng ở đầu của véc-tơ kia. Véc-tơ tổng là véc-tơ trải dài từ đuôi của véc-tơ thứ nhất đến đầu của véc-tơ còn lại. Mời bạn xem ví dụ về hai véc-tơ sau đây.





Pythagorean Theorem

Định lý Pi-ta-go


If the two vectors a and b form a 90 degree angle, we can use the Pythagorean Theorem to find the magnitude of the resultant vector c. You can go here to learn more about the Pythagorean Theorem.

Khi hai véc-tơ a và b hợp thành một góc 900, ta có thể dùng định lý Pi-ta-go tìm độ lớn của véc-tơ tổng c. Mời bạn tìm hiểu thêm về Định lý Pi-ta-go tại đây.


In this case, the magnitude of the sum of the vectors a + b = c is a2 + b2 = c2.
Bấy giờ tổng véc-tơ a + b = c có độ lớn là a2 + b2 = c2.


Example problem:
Bài toán gợi ý:

Jim walks four miles north and then walks three miles east. What was the resultant distance if he had walked a straight line from the starting point to the end point?

Jim đi bộ bốn dặm về phía bắc, rồi đi bộ ba dặm về phía đông. Tổng cộng khoảng cách là bao nhiêu nếu anh đi thẳng một đường từ điểm xuất phát cho đến điểm kết thúc?

Since Jim walked in two vectors, one to the north and one to the east, we can add these vectors together to get the answer. As north and east are at 90 degrees to each other we can use the Pythagorean Theorem.

Vì chuyến đi của Jim là hai véc-tơ, một về phía bắc và một về phía đông, nên ta có thể cộng hai véc-tơ này với nhau để tìm đáp số. Bắc và đông vuông góc với nhau 900, nên ta cứ dùng định lý Pi-ta-go.

c2 = a2 + b2
c2 = 32 + 42
c2 = 9 + 16
c2 = 25
c = 5



Commutative Law

Định luật giao hoán



The commutative law for vector addition states that it doesn't matter in which order the vectors are added together.

Theo định luật giao hoán về cộng véc-tơ, véc-tơ cộng với nhau theo thứ tự nào cũng được.

a + b = b + c




Associative Law
Định luật kết hợp


The associative law for vector addition states that when three or more vectors are added together, it doesn't matter which vectors are added together first.
Theo định luật kết hợp về cộng véc-tơ, khi cộng ba hoặc nhiều véc-tơ với nhau thì cộng véc-tơ nào trước cũng được.


(a + b) + d = a + (b + d)




Subtracting Vectors

Trừ véc-tơ


When subtracting two vectors a - b, it is the same as adding the vectors a + (-b). The negative vector is the same magnitude, but is drawn in the opposite direction of the positive vector.

Trừ hai véc-tơ a - b cũng y như cộng hai véc-tơ a + (-b). Véc-tơ âm cũng có độ lớn như vậy, nhưng ngược hướng với véc-tơ dương.